Photo
Ecole de Recherche CIMPA
"Analyse et Probabilités"


Cocody-Abidjan, Côte d'Ivoire
17-28 mars 2014



Sept cours sont prévus au programme. Ils comprennent chacun des séances d'exercices ou de travaux pratiques.

Cours 1: Intégration fractionnaire et inégalités à poids

Responsable: Ibrahim Fofana (Université Cocody, Abidjan, Côte d'Ivoire)
Résumé / Plan du cours:
  1. Introduction
    Intégrale fractionnaire
    Inégalité de Fefferman
  2. Théorème de Hardy-Littlewood-Sobolev
    Opérateur maximal de Hardy-Littlewood
    Théorème de Hardy-Littlewood-Sobolev
  3. Inégalités en norme avec poids
    Opérateur maximal fractionnaire
    Intégrale fractionnaire
Voici une version préliminaire des notes du cours.

Cours 2: Martingales and Calderon-Zygmund operators : the dyadic case
Responsables: Aline Bonami (MAPMO, Université d'Orléans, France) et Carlos Perez (Université de Séville, Espagne)
Résumé: Le cadre dyadique se trouve au croisement entre les probabilités et l'analyse : les martingales dyadiques donnent les exemples les plus simples de martingales, alors que la théorie de Calderon-Zygmund s'y exprime de façon plus élémentaire que dans le cadre classique. L'ondelette la plus simple, l'ondelette de Haar, permet aussi d'y décrire de façon plus simple que dans l'espace réel les espaces fonctionnels classiques. On partira des théorèmes maximaux et de la théorie de Littlewood Paley, puis on montrera comment on peut passer du "dyadic shift" à la transformée de Hilbert. Le dernier exposé sera consacré à certains résultats très récents sur les inégalités à poids.
Voici les notes ainsi que les transparents du cours de Aline Bonami.
Carlos Perez a été obligé d'annuler sa participation à une semaine du début de l'école. Voici les notes qu'il avait commencé à rédiger.

Cours 3: Introduction to Brownian Motion and Fractional Brownian Motion
Responsable: Modeste N'Zi (Université de Cocody-Abidjan, Côte d'ivoire)
Résumé: Les phénomènes irréguliers apparaissent dans de nombreux domaines tels que les mathématiques financières, le traitement des images, etc. Nous introduisons le mouvement brownien comme processus permettant d’écrire des modèles simples pour  expliquer  ces  phénomènes  lorsqu’on  est  dans  un  cadre  markovien.  Par  la suite, nous considérons le mouvement brownien fractionnaire qui conduit à  des  modèles  proches  de  la  réalité  lorsque  la  propriété  de  Markov  et l’indépendance  des  accroissements  ne  sont  pas  satisfaites.  Nous  présentons  les différentes  représentations  intégrales  du  mouvement  brownien  fractionnaire  et étudions  les  propriétés  trajectorielles.  Nous  présentons  quelques  équations différentielles  dirigées  par  un  brownien  fractionnaire.  Nous  terminons  par  le mouvement brownien multifractionnaire qui vient de la situation où le coefficient de Hurst varie au cours du temps.
Voici une version préliminaire des notes du cours.

Cours 4: Méthode de Stein fonctionnelle
Responsable: Laurent Decreusefond (Telecom Paris Tech, France)
Résumé:  La méthode de Stein est une manière de calculer des distances entre deux  mesures de probabilité ou d'obtenir des inégalités de concentration. Elle est principalement utilisée pour les approximations poissonniennes et gaussiennes en dimension 1, malgré quelques extensions récentes aux dimensions supérieures. Nous montrerons comment le calcul de Malliavin permet d'étendre cette méthode aux cas des distances entre processus. Nous montrerons comment évaluer la vitesse de convergence dans le théorème de Donsker et dans l'approximation brownienne d'un processus de Poisson renormalisé. Nous étudierons aussi les approximations par un processus de Poisson ponctuel.
Voici les slides du cours.
Lien vers la page de l'auteur : http://www.infres.enst.fr/~decreuse/?page_id=1758



Cours 5: 
Analyse multifractale
Responsable: Carenne Ludeña (Université Centrale du Vénézuela)
Résumé: Dans ce cours on parlera dans un premier temps des aspects fondamentaux des modèles multifractals, leur caractérisation et le formalisme multifractal, ainsi que les exemples plus connus : cascades, mesures aléatoires multifractales, marches aléatoires multifractales et produits multifractales des processus stationnaires. La deuxième partie du cours sera consacrée à l'estimation de la fonction d’échelle et du spectre des singularités, et aux applications de l'analyse d'ondelettes dans ce domaine. Finalement on discutera quelques applications en traitement du signal  et traitement d'images.
Voici les slides du cours ainsi que les fichiers à télécharger pour le TP.
  1. Modèles multifractales et formalisme multifractal. Exemples.
  2. Estimation en modèles multifractales. Analyse par ondelettes
  3. Applications
Cours 6: Ondelettes, fractals et processus stochastiques "sparse"
Responsable: Michael Unser (Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse)
Résumé / Plan du cours:
  1. Sparse stochastic processes
    - innovation modeling
    - generalized stochastic processes
  2. Fractional operators and their inverses
  3. Wavelet analysis of Gaussian and non-Gaussian self-similar processes
  4. Application to image reconstruction
Lien vers la page de l'auteur : http://www.sparseprocesses.org/sparseprocesses.pdf et voici les slides du cours fichier 1, fichier 2 et fichier 3.

Cours-TP 7: Opérateurs Toeplitz et méthodes de simulation de processus gaussiens
Responsables: Hermine Biermé (université de Poitiers, France) et Edgar Tchoundja (université de Yaoundé, Cameroun)
Résumé: Les opérateurs de Toeplitz sont un des opérateurs concrets les plus largement étudiés en analyse. La connexion avec plusieurs branches des mathématiques et de la physique mathématique est aujourd'hui bien connue. Dans ce mini cours, nous explorerons la théorie des matrices et operateurs de Toeplitz et nous discuterons une application de cette theorie a l'etude des processus Gaussiens stationnaires.
En effet, l'un des objectifs de ce cours-TP sera d'implémenter numériquement la méthode de simulation de mouvements browniens fractionnaires par la méthode de la matrice circulante proposée par Perrin et al. Nous rappellerons dans un premier temps la méthode de Choleski qui permet de simuler des vecteurs gaussiens de matrice de covariance donnée à partir de la diagonalisation de cette matrice. Nous exploiterons ensuite la structure Toeplitz de la matrice de covariance pour la plonger dans une matrice circulante diagonalisée par la matrice de transformée de Fourier discrète. Nous utiliserons ces résultats pour simuler les accroissements d'un mouvement brownien fractionnaire, ce qui nous permettra de simuler une trajectoire du mouvement brownien fractionnaire en utilisant l'autosimilarité du processus. Nous mettrons ensuite en pratique un estimateur du paramètre de Hurst basé sur les variations quadratiques des processus simulés.
Voici les slides du cours, ainsi que l'énoncé du TP et la correction.